站在数学的地平线上 |
一个优秀的数学教师,似乎总是带着鲜明的数学思维,无论是看事物,看问题,还是搞教研,搞教学,总会有意无意地移植数学的冷静、简洁和单纯。在株洲市白鹤小学,何亩文是单纯的,她做人的态度、教学教研的态度,都很单纯。这和数学是一致的。数学本身的意境,数学中说一不二的严密逻辑,其实也是单纯的。
和何亩文对话,她对课堂,对教学,对数学学科的深思,就像所有数学符号一样简明,但因了它丰富的内涵,又总是把你带入思维的深处。
地平线上的思维
何亩文曾花了一年的时间,通读了全部小学数学教材。为什么要读?她的道理很简单——掌握小学数学学科体系。没有这个整体把握,就不可能提升学科教学水平。在一年的时间里,她细细翻阅了全部12册教材,仔细比对、分析每本教材的编排特点。虽然不是专家,但她对教材读得透彻,她说:现行教材都有缺陷和不足。
事实上,何亩文读教材远不止于此,她还会读初中数学教材,读过不同版本的小学教材,甚至过去时代的已经不用的教材,她也读过。她说,读不同的教材,读不同时代的教材,有很强的互补性。过去的教材为什么是那样写的?今天的教材为什么要改?别地的教材和本地的教材有什么不同?这些问题,她都拷问过。在读了很多教材以后,她发现,不同的教材有不同的资源。这个看法当然高出了对不同编排目的和不同编辑意图的理解。
比如,不同的教材,例题、习题都有不同。何亩文就要在这里打个问号,这样的不同,是要培养学生什么样的思维和方法呢?这又可以给学生什么样的启蒙呢?
何亩文是教小学数学的,她的眼光和思路却从来没有停留在小学阶段。她这样想:我教小学数学,最多教到小学六年级就打住了,我的教学到这里戛然而止,但学生的学习还远未结束,我的教学应该怎样帮助孩子们思维的发展呢?所以她经常会在教学中抓住中小学数学关联和衔接的蛛丝马迹,此时的“关切”,也许学生暂时还感受不到,但肯定有用。
在“读”的问题上,历来的看法是,文科比如语文、外语,要多读,至于数学,不读也没有什么关系。这当然是偏见。何亩文说,不仅老师要读教材,学生也要学着读。而现在的问题,恰恰是关注学生数学阅读的人太少。
读重要,怎么读尤其是关键。
何亩文读得多,当然有心得。她的看法是:一是要结合与教材配套的东西来读,比如“课标”,不结合“课标”读就不能站得更高;二是要系统地读,读深读透,既要有横向目标的融通,也要有纵向目标的递进,蜻蜓点水,浅尝辄止是不行的,有的老师也读,但读得简单,读得少,所以没有体会;三是创造性地读,善于挖掘。一些看似简单的东西,并不能简单对待。二年级教材上有一个习题:儿子5岁,父亲35岁,问父亲的年龄是小孩的几倍?表面看非常容易,想一想,就可以把这个问题上得有点“厚度”——如果再问,明年父亲的年龄是小孩的几倍?还是这个答案吗?
何亩文说,一本教材,不同的人教,方法肯定不同。如果仅仅当习题来教,像一二年级的教材,还不几天就教完了。其实,内容越简单,所蕴含的数学思想越容易被人忽视。一年级有一组习题:9+2,9+3,9+4,9+5,……孩子们很直观地发现了规律,是仅停留于这个层次,还是让学生进一步思考呢?孩子知道了是什么,这很重要,但更重要的是,老师要告诉他为什么。
阅读的视野当然不能仅限于教材,一个教师,眼界还要更开阔。何亩文的数学阅读,有《数学史》、《古今数学思想》、《小学数学创新备课》,她还常年关注《小学数学教育》、《人民教育》、《湖南教育》等。何亩文读了大量的书,获益定然不菲,不论读什么,何亩文的习惯是,一定要结合自己的实际来看,汲取其精华,并试图朝前多走几步。
不着痕迹的渗透
数学的思维很特别,非常复杂的东西,在数学的思维方式中,异常简明。
何亩文举了一个例子。 0. 9(注:0.9的循环小数,9上有点,这里无法打出来)和1比较,哪个大?凭直觉,似乎 总比1要小那么一点点。数学告诉你,它们一样大。证明的过程很简单:
设 0. 9=X
那么,0. 9×10=9.9
显然,10X-X=9.9-0. 9=9
解得,X=1
真是匪夷所思!在恍然大悟,豁然开朗的同时,你不得不惊叹数学的神奇和美妙。这是删繁就简三秋树,这是举重若轻的境界。在这里,我们领略了数学思维的精髓:转化——把复杂转化为简单,把未知转化为已知。
何亩文说:“我喜欢换一种思路去思考问题。”
就说数数,这是一年级小朋友数学的启蒙知识,可能上学前在家里就会了。但何亩文仍然要别开生面。她以一篮鸡蛋为例。“小朋友,我们来数一数。一个,两个,三个……”“可是外婆不这么数。她两个两个地数:一双,两双,三双……”“妈妈的方法又不同。她五个五个地数:一五,二五,三五……”你看,多有趣。这不只是数数的方法的不同,也为“按群计数”打下了基础。
数学思维的渗透不是“贴标签”,不能牵强附会,而要不着痕迹。所以她的课总是那么有魅力。
一个数学结论的产生,是非常艰难的,这个过程也许要经历几百年,是很多数学家思维的接力。现在我们看到的结论看起来已经很简单了。教学中,当然不能重复这个过程,但不重复不意味着不要探索,不要分析。
何亩文讲“三角形的内角和”,就很有意思。
三角形的内角和是 。怎样证明呢?中学有中学的方法,小学的方法比较简单:量一量、拼一拼。用量角器去量是学生最容易想到的,但往往有“误差”。拼的方法比较直观,把三个角剪下来,拼在一起,就成了一个“平角”。何亩文不满足于让学生停留在这种似懂非懂的状态,剪拼时,她提醒学生:将三个角拼在一起,非得将三个角都剪下来吗?学生不难想到,只需把任意两个角剪下来,与第三个角拼在一起就行了(如下图)。为了避免学生的定势思维,何亩文把三种情况都板书出来,让学生认真观察,谈自己的发现。就像她自己说的,她不喜欢按常规出牌,教学中也要出一点偏锋。这偏锋大有深意在焉。就像这个剪、拼、摆的过程,实际是一个伏笔,为初中的几何学习埋下的。
前人评《红楼梦》的小说笔法,有所谓“草蛇灰线,伏笔在千里之外”。原来,这样的妙笔,不仅仅是小说家的专利。
如今的教材大都是教案式的,情境、案例都设计好了。如果没有一点创造性,只是照本宣科,学生听起来就没有多大兴味。创造性地教,就不是教教材,而是用教材教,教师应该有主动性,有思维的张力和弹力,有视界的广度和深度。
有学生曾问过何亩文,为什么要学数学。何亩文这样回答:首先,学数学有用。数学告诉你一种不一样的思维方式,数学给你打开了观察世界的另一扇窗口,当我们的眼光、视野、思路已经习惯了某一种固定的模式时,数学会给你吹来一股清新的风。比如,我们先学了加法,然后学乘法,知道乘法比加法简便,但你也许忽略了所有的乘法其实都可以转化为加法。比如,我们都知道1+1=2,你是否想过2=1+1呢?还有,如果数学家告诉你自然数和偶数一样多,你有什么感觉呢?用数学思维方式思考一些问题,往往别有洞天。其次,在数学的探究中可以给人以乐趣。这是一种美的探究,也是一种美的享受。只有钻进去了以后,才能获得这种情感体验。
你是否只比学生高明一课时
何亩文写过一篇《向新基础教育学什么》的论文。在这篇文章中何亩文提出:要学新基础教育的“超前意识”和“开放意识”,“超前”和“开放”的定位是,教学目标的整体把握,教学过程的开放互动,教学长程的结构关联;要学新基础教育教师的“研究行为”与“常规行为”,教师当然要搞研究,但绝不能忽视常规教学;要从新基础教育中寻找“扎根点”和“发展点”,就是说要在成熟的经验中寻找扎根点,在未知领域寻找发展点。这可以看作是何亩文对新课改以来教师成长和发展的全面思考。
她喜欢在观察中思考。一次,听一位老师上“圆锥的体积”。老师和学生一起用实验的方法推导圆锥体积的计算公式。学生的学具是两个等底等高的圆柱和圆锥,外加一些细沙。实验后,大多数学生得出:圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的1/3。有一个同学较真,说:老师,我刚才量过了,用圆锥装3杯沙子倒进圆柱体,并没有装满。老师似乎早有准备:这是实验器材不精确所造成的误差。乍听上去,好像没问题,仔细一想不对劲。既然有误差,怎么能对结论深信不疑呢?
老师是否只比学生高明一课时?这样的疑问在她的脑海中闪现。
她觉得,一些老师总是站在台阶上,并没有引导学生上楼梯,他们的分析、探究,总是“滑过”地面,而不是深深地“犁入”深层。正是这种得过且过的态度,使教学在浅层次上复述教材。看起来是开放的,实际上是松弛的;看起来有研究,实际连常规也没做好;看起来有发展,实际上它的根根本没有扎下去。
如果一个老师仅仅比学生高明一个课时,岂不太可笑,甚至可悲呢!也许是有感于这种状况,何亩文坚持在学习和反思中提高自己。
她有解剖自己和批判自己的勇气,她曾如此反思:“我总是那么平平淡淡工作着,任务式地干着自己份内的活,从来不敢也不愿意从宏观的角度去思考自己工作的全局,总是跟在校长、教研员的屁股后头,有时十天半个月也不会看一页专业书,这样的态度最多让我完成任务,不可能给我带来任何兴奋点,更不会有什么出人意料的惊喜。于是,我的工作就像一杯白开水,努力地维持着一丁点原来的热度。这么一想,原来,我缺少的是激情。”
带着激情解剖自己,也解剖别人,何亩文的观察和思考不仅有了逻辑的力量,同样也有感性的温暖。在参观杜郎口中学时,她站在个人观察的视角作理性的深刻思考,从“看山是山,看水是水”,到“看山不是山,看水不是水”,再回到“看山还是山,看水还是水”。这是哲学上的否定之否定,其实也是一个思想者攀登的心路历程。
对自己的教学成长,何亩文也是这么说:也许我还停留在“看山是山,看水是水”的阶段,至多发现了目前的山、水稍有异状。她追求的是第三个境界,在突破了“看山不是山,看水不是水”以后,达到“看山还是山,看水还是水”的境界。到那时,青绿山水一定是别样的风景,别具迷人的魅力。
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